torstaina, helmikuuta 11, 2010

Näköalapaikka



Mainiossa Jaskan pauhantaa -blogissa etsittiin Suomen merkittävintä vuorta. Tulos oli lievästi sanoen yllättävä. Asia ei ole mitenkään yksinkertainen, koska korkea maastonkohta ei välttämättä erotu ympäristöstään erityisemmin, jos siltä pääsee vielä korkeammalle maastonkohdalle matalaa solaa pitkin (vähäinen prominenssi) tai vaikka se olisikin syvien solien erottama korkeammista naapurihuipuista, korkeammat maastonkohdat voivat olla lähellä (vähäinen isolaatio).

Mikäli halutaan mitta jonkin maastonkohdan merkittävyydelle, lasketaan summa (tai oikeastaan integraali) etäisyyksistä kaikkiin näkyvissä oleviin pisteisiin ympäröivässä maastossa. Tämä kriteeri takaa, että jokin erittäin korkean vuoren sivuhuippu on merkittävämpi vuori kuin joku Kiiskilänmäki.

11 kommenttia:

11:26 ap. , Blogger Evojeesus kirjoitti...

Ei Suomessa ole vuoria, joitakin keskikokoisia kukkuloita kylläkin.

 
12:15 ip. , Blogger Tiedemies kirjoitti...

Prominenssin määritelmä on siinä mielessä epäintuitiivinen, ettei se vangitse sitä intuitiota, että korkeakaan vuori ei näytä lokaalisti korkealta, jos sen lähellä on likipitäen yhtä korkeita huippuja. Esimerkiksi se, että Everestin prominenssi on 8848m, koska sitä korkeampia huippuja ei ole, ei kerro mitään siitä, kuinka korkealta Everest näyttää jos on sen laella.

Myös isolaatio kärsii samantapaisesta puutteesta, koska sekään ei kerro suhteellisesta korkeudesta mitään; Everest on myös täysin isoloitunut, koska se on korkein.

Tuossa integraalissa on pointtia, mutta epäilen, ettei sekään vangitse "korkean huipun" tuntua.

 
12:54 ip. , Blogger Markku kirjoitti...

Tuossa integraalissa on pointtia, mutta epäilen, ettei sekään vangitse "korkean huipun" tuntua.

Funktion pitäisi jotenkin painottaa kulmaa, johon katsotaan, siten, että mitä pienemmällä kulmaetäisyydellä jalkojen juuresta katsottu piste on, sitä enemmän sen etäisyyttä integraali painottaa. Toisin sanoen, laskentatavan pitäisi antaa huomattavan paljon suurempi arvo terävälle kuin laakealle huipulle. Onhan paljon dramaattisempaa olla jyrkän ja syvän kuilun partaalla kuin katsoa 100 kilometrin päähän horisonttiin, koska tuollainen piste ei näytä paljon ihmeellisemmältä kuin 50 kilometrin päässä oleva.

 
3:13 ip. , Blogger Tiedemies kirjoitti...

Hmm, tarvittaisiinkohan tässä jotain sopivia integraalimuunnoksia, esimerkiksi kaksiulotteinen laplace-muunnos pinnanmuodoista voisi antaa jonkin sopivan kriteerin. :)

 
11:06 ap. , Blogger kattoratsastaja kirjoitti...

Tuli äkkiä mieleen tällainen työkalu huipun suhteellisen korkeuden arviointiin:

Otetaan jokin säde r, jonka muodostaman ympyrän maanpinnan suuntaisen tasoprojektion keskipisteenä on arvioitava huippu. Muodostetaan ympyrästä sylinteri, jonka ylemmän pohjan korkeusasema on h1 ja alemman h2.

Vertailulukuna käytetään sylinterin sisään jäävän ilman ja maan tilavuuksien suhdetta. Näin laakeiden ja terävien huippujen ero korostuu.

Tällä voidaan suorittaa erilaisia vertailuita. Esimerkiksi r voisi olla isolaatio tai vaakasuora etäisyys prominenssisolan matalimpaan kohtaan. h1 voisi olla huipun taso tai lähimmän korkeamman huipun taso, ja h2 joko prominenssi tai r:n sisään jäävä absoluuttisesti matalin piste.

Jäi vähän raakileeksi, täydentäkää.

 
10:45 ip. , Blogger Gc kirjoitti...

Vielä korjauksia: Aivan ensimmäisen kommenttini poistin, ja sen päivitys samalla katosi. No niin, toivotaan että tämä menisi tällä kertaa väsyneenäkin suunnilleen oikein. Painotuksesta: Laitetaan vuoren huipulle pallokoordinaatiston origo, ja akseli siitä sojottamaan alaspäin. Nyt määritetään funktio indikaattori(r,phi,omega), jossa parametrit viittavaat pallokoordinaatistoon, siten
että phi on "leveypiiri", omega "pituuspiiri" ja r etäisyys origosta. Indikaattori(r,phi,omega)
on 1, jos koordinaateissa (r,phi,omega) on jonkin maanpäällisen kappaleen piste ja 0 muutoin. Lasketaan F(phi,omega) =
integral 0^oo indikaattori(r,phi,omega)*sin(phi)
dr. Sitten lasketaan
integral 0^pii/2 F(phi,omega)d(phi)+ integral pii/2^pii 2*F(phi,omega)d(phi) = G(omega). Lopuksi lasketaan integral 0^2pii G(omega)d(omega).
Saatu tulos on "vuoren vaikuttavuus", jossa pienet pisteet tarkoittavat merkitsevyyttä. Valitsin painotuksen 2 niille pisteille jotka näkyvät korkeammalla kuin huippu jossa ollaan.

 
10:59 ip. , Blogger Gc kirjoitti...

Anteeksi. En ilmeisesti saa tätä ikinä oikein. Vielä korjaus. Edellisessä painotus laskee kun vaakatasosta katsotaan ylöspäin. Väsyneenä ei pitäisi yrittää ajatella.
F(phi,omega) =
integral 0^oo indikaattori(r,phi,omega)*
sin(phi/2)dr.

po. "F(phi,omega) =
integral 0^oo indikaattori(r,phi,omega)*sin(phi)
dr."

 
11:25 ap. , Blogger Gc kirjoitti...

Huoh. Vielä sen verran integrointi rajoista että F(phi,omega) =
integral 0^oo indikaattori(r,phi,omega)*sin(phi)
dr." minun kannattaisi integroida äärettömyyden sijasta esimerkiksi 200km, jottei maapallon toisella puolella olevat pinnanmuodot vaikuta tulokseen.

 
8:11 ip. , Blogger Jaska Brown kirjoitti...

Gc: Integraalisi se kuulostaa intuitiivisesti hyvältä, etenkin integrointivälin rajoittaminen välille [0, 200]. Jos ymmärsin sen oikein, niin siinä on kuitenkin kaksi ongelmaa.
Ensinnäkin vuorenhuipun, jota ympäröi joka puolelta sitä korkeampi vuoristo, joka on puolestaan tasangon ympäröimä (kuvittele kraaterijärven saarta), merkittävyys on integraalin mukaan suuri.
Toiseksi vuorenhuipun lähellä oleva korkeuspiste (kuvittele kaksi metriä huipun alapuolella olevaa pientä kohoumaa) saa melkein yhtä hyvät arvot kuin huippu itse.
Molemmissa tapauksissa kyseisestä korkeuspisteestä saatavat näkymät eivät yllä lähellekään läheistä korkeampaa pistettä, vaikka integraalin arvot ovat lähellä.

Yksi vaihtoehto olisi laskea integraali nollasta 360 asteeseen funktion arvona etäisin piste, johon ko. näköalapaikalta mihinkin suuntaan näkee. Tämä piste olisi helposti määritettävissä ympyrän tangentilla missä tahansa suunnassa, jos kartta-aineisto olisi digitaalisesti käyttökelpoisessa muodossa.

Valitettavasti pääsin kommentoimaan työreissun takia vasta nyt, lukeekohan tätä kukaan... Joka tapauksessa kiitos mainiosta blogista!

 
1:13 ip. , Blogger Gc kirjoitti...

JB "Yksi vaihtoehto olisi laskea integraali nollasta 360 asteeseen funktion arvona etäisin piste, johon ko. näköalapaikalta mihinkin suuntaan näkee."

Minusta todella hyvä idea, joka parantaisi ideaani huomattavasti. Tälläinen "mitta" saataisiin integraalisysteemilläni siten,
että indikaattorissa ykkösen ja nollan paikat vaihtuisivat ja indikaattorin kerran pamahdettua nollaksi se pysyisi nollana. Siis
indikaattori(r,phi,omega) = 0 kun r >= R, missä R on suunnassa phi,omega etäisyys lähimpään kappaleeseen, muuten indikaattori on 1. Tällöin akseliksi, josta phi mitataan pitäisi valita ylöspäin osoittava akseli ja F(phi,omega) =
integral 0^oo indikaattori(r,phi,omega)*sin(phi/2)dr. Tämä tuntuisi oikeastaan _paljon_ luonnollisemmalta. Nyt korkeat pisteet tarkoittaisivat _suurta_ merkitsevyyttä. Ja tällöin voitaisiin taas integroida äärettömyyten (sillä ennenpitkää indikaattori pamahtaisi nollaksi), eikä integrointi rajoista tarvitsisi huolehtia.

JB:"Valitettavasti pääsin kommentoimaan työreissun takia vasta nyt, lukeekohan tätä kukaan..."

Minä, minä! Tälläisistä geometrisista jutuista tykkään erityisesti.

 
1:25 ip. , Blogger Gc kirjoitti...

Gc "Ja tällöin voitaisiin taas integroida äärettömyyten (sillä ennenpitkää indikaattori pamahtaisi nollaksi), eikä integrointi rajoista tarvitsisi huolehtia",

Äh, Tämä siis jos phi olisi suurempi kuin pii/2 eli 90 astetta, muutoin vektori (r,phi,omega) osoittaisi ylöspäin, joter r:n integrointi rajaksi voitaisiin laittaa kaikille kulmilla vaikkapa 500km (en jaksa nyt laskea kuinka kauas korkealta vuorehuipulta voidaan nähdä, joten otin integrointirajaksi jonkun suuren luvun.) Joka tapauksessa r:n integrointirajoilla ei ole merkitystä, kunhan se on riittävän suuri, niin että indikaattori(r,phi, omega) "ehtii kohdata" minkä tahansa maanpäällisen kappaleen joka on kyseisessä suunnassa, ennen kuin integrointirajat loppuvat.

 

Lähetä kommentti

Tilaa Lähetä kommentteja [Atom]

<< Etusivu